ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Формула полной вероятности

123 4 5

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий , которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности события А. Требуется найти вероятность события А. На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Доказательство. По условию теоремы, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий , т.е. появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий . По теореме сложения = ).

Эту формулу называют «формулой полной вероятности».

Пример 6. В автобусе едут пассажиров. На следующей остановке каждый из них выходит с вероятностью ; кроме того, в автобус с вероятностью не входит ни один новый пассажир; с вероятностью – один новый пассажир. Найти вероятность того, что когда автобус снова тронется в путь после следующей остановки, в нём будет по-прежнему пассажиров.

Р е ш е н и е. A – после остановки снова пассажиров.

Введём гипотезы:

– не вошёл никто; ;

– вошёл один пассажир; .

Вероятность того, что после остановки в автобусе будет снова пассажиров при условии, что не вошёл никто (значит не вышел никто) ;

Вероятность того, что после остановки в автобусе снова будет пассажиров при условии, что вошёл один пассажир (значит вышел один) .

Полная вероятность будет равна .

Формула Бейеса

Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂, … , В_n , образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Допустим, что в результате испытания появилось событие А. Возникает задача, как изменились вероятности самих гипотез в результате наступления события А. Другими словами надо найти условные вероятности , где .

По теореме умножения зависимых событий имеем

Отсюда , зная, что , получим

Полученные формулы называютсяформулами Бейеса, которые позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Пример 7. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трёх касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и равны соответственно . Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся билеты в кассе будут распроданы, равна для первой кассы , для второй , для третьей . Пассажир направился за билетом в одну из касс и приобрёл билет. Найти вероятность того, что это была первая касса.

Р е ш е н и е. А – пассажир приобрёл билет.

В₁ – пассажир обратился в первую кассу, , .

В₂ - пассажир обратился во вторую кассу, , .

В₃ - пассажир обратился в третью кассу, , .

Повторение испытаний

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность события А в каждом испытании одна и та же, и равна . Следовательно, вероятность ненаступления события А в каждом испытании также постоянна и равна .

Поставим перед собой задачу вычислить вероятность того, что при испытаниях событие А осуществится ровно раз и, следовательно, не осуществится раз, причём совсем не требуется, чтобы событие А повторилось ровно раз в определённой последовательности. Такая вероятность обозначается .

Формула Бернулли

Поставленную задачу можно решить с помощью так называемой формулы Бернулли. Вероятность сложного события, состоящего в том, что в испытаниях событие А наступит раз и не наступит раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна . Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить . Так как эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. А так как вероятности этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число: .

Полученная формула называется формулой Бернулли.

Пример 8. Монета подбрасывается 8 раз. Какова вероятность того, что 6 раз она упадёт гербом вверх?

Р е ш е н и е. .

Локальная теорема Лапласа

Формула Бернулли применяется, как правило, при небольших значениях . Если число испытаний достаточно велико, то в этом случае применяется локальная теорема Лапласа:

Теорема. Если вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А появится в испытаниях ровно раз , приближённо равна значению функции

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции , соответствующие положительным значениям аргумента . Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, т.к. функция четна, т.е. .

Итак, вероятность того, что событие А появится в независимых испытаниях ровно раз, приближённо равна

Пример 9. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Р е ш е н и е.

Вычислим = . По таблице находим .

Формула Пуассона

Чуть изменим условие поставленной задачи, а именно, найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала (), событие наступит ровно раз. В этих случаях ( велико, прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

Сделаем важное допущение: произведение сохраняет постоянное значение, а именно, Воспользуемся формулой Бернулли для вычисления интересующей нас вероятности: (т.к. , то ) = . Приняв во внимание, что имеет большое значение, вместо найдём . При этом будет найдено лишь приближённое значение отыскиваемой вероятности: хотя и велико, но конечно, а при отыскании предела мы устремим к бесконечности. Заметим, что поскольку произведение , сохраняет постоянное значение, то при вероятность . Итак,

Пример 10. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно пять бракованных книг.

Р е ш е н и е.

123 4 5