ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Достаточные признаки разложимости в ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье непериодической функции.

1 234 5 6

А)Точка х₀ разрыва функции f(x) называют точкой разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке.

ТЕОРЕМА 1 (Дирихле). Если f(x) периодическая с периодом 2π функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода на отрезке [-π, π] и этот отрезок можно разбить на конечное число частей, в каждом из которых f(x) монотонна, то ряд Фурье относительно функции сходится к f(x) в точках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функция удовлетворяющая этим условиям называется кусочно-монотонной).

ТЕОРЕМА 2. Если f(x) периодическая функция с периодом , которая на отрезке [-π, π] вместе со своей производной непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, то ряд Фурье функции f(x) в точках разрыва к среднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этой теореме называется кусочно-гладкой).

Б) Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции.

Допустим, функция f(x) задана на отрезке [a, b] и является на этом отрезке кусочно – монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно – монотонную функцию f1(x) c периодом 2Т ³ ïb-aï, совпадающую с функцией f(x) на отрезке [a, b].

Таким образом, функция f(x) была дополнена. Теперь функция f1(x) разлагается в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [a, b] совпадает с функцией f(x), т.е. можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке [a, b].

Таким образом, если функция f(x) задана на отрезке, равном 2 π ничем не отличается от разложения в ряд периодической функции. Если же отрезок, на котором задана функция, меньше, чем 2 π, то функция продолжается на интервал (b, a + 2 π) так, что условия разложимости в ряд Фурье сохранялись.

Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2 π может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке [a,b].

Ряд Фурье для четных и нечетных функций

2)Если произведения двух четных и двух нечетных ,то получаем нечетную

3)Произведение четной и нечетной –нечетная

Если f(x) четная периодическая функция с периодом 2π,удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, то можно записать:

А_n=

Где (n=0,1,2…)

B_n=

Таким образом для четной функции разложение в ряд Фурье выглядит так:

F(x)=

A_n= =>>> четная функция

F(x)=

B_n= =>>> нечетная

Ряды Фурье для функции любого предела.

Ряд Фурье для функции f(x) c периодом T=2L точек разрыва 1 рода на отрезке {-L;L} имеет вид:

F(x)= x+B_nsin

A₀=

A_n=

B_n=

(n=1,2,…)

f(x)=

A_n= ->>>

Четная

(n=0,1,…)

F(x)=

B_n=

(n=1,2…)

Интеграл Фурье

Пусть функция f(x) на каждом отрезке (-L;L) где L-любое число, является кусочно-гладкой и кусочно-монотонной и f (x) абсолютно интегрирующаяся функция,тогда функция f(x) разлагается в ряд Фурье.

F(x)=

A_n=

B_n= ,где (n=1,2..)

F(x)=

dt*

(t-x)dt

Переходя к пределу L->

F(x)=

A_n= u_n+1-u_n= ,

F(x)=

Двойной интеграл Фурье

F(x)=

A(u)=

1 234 5 6