ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Позиционные и непозиционные системы счисления

Системой счисления называется совокупность приемов и правил представления чисел с помощью цифровых знаков.

Непозиционной называется такая система счисления, в которой значение любой цифры не зависит от положения (позиции) в ряду цифр, изображающих это число.

Например, в числе ХХХ, записанном в римской системе счисления, каждый разряд означает 10 единиц.

Задача 1. Записать числа в римской нумерации: а) 193; б) 564; в) 2708.

Решение: а) 193 - это сто (С) + девяносто, т.е. сто без десятка (ХС) + три (III). Следовательно, 193 запишется как СХСIII.

б) 564 - это пятьсот (D) + пятьдесят (L) + десять (Х) + четыре (IV), т.е. число 564 запишется как DLХIV.

в) 2708 - это две тысячи (ММ) + плюс пятьсот (D) + сто (С) + сто (С) + пять (V) + три (III). Следовательно, число 2708 записывается так: ММDCCVIII.

Позиционной называется такая система счисления, в которой значение любой цифры зависит от ее положения (позиции) в ряду цифр, изображающих это число.

Например, цифра 3 в числе 723, записанном в десятичной системе счисления, означает три единицы, а в числе 325 – три сотни. К позиционным СС можно отнести шестидесятиричную вавилонскую и десятичную системы счисления.

Под основанием системы счисления понимается определенное постоянное для данной системы счисления отношение единиц соседних разрядов.

Основанием системы счисления может быть любое натуральное число большее 1.

Система счисления с основанием равным 1 называется унарной.

Для записи чисел в позиционной системе счисления используются цифры, количество которых соответствует основанию системы.

Десятичная система счисления, запись чисел в ней

В практике установилась десятичная система счисления. Как известно, в десятичной СС для записи чисел используются 10 знаков (цифр): 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0. Из них образуются конечные последовательности, которые являются краткими записями чисел. Например, последовательность 3745 является краткой записью числа .

Определение 4.Десятичной записью натурального числа xназывается его представление в виде:

где коэффициенты a_n, a_n-1, …, a₁, a₀ принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и

Сумму в краткой форме принято записывать последовательностью цифр с чертой наверху, чтобы отличать от произведения чисел:

Так как понятие числа и его записи нетождественны, то существование и единственность десятичной записи натуральной записи надо доказывать.

Теорема 1. Любое натуральное число х можно представить в виде:

(1)

где коэффициенты a_n, a_n-1, …, a₁, a₀ принимают значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

и такая запись единственная.

Десятичная запись числа позволяет просто решать вопрос о том, какое из них меньше.

Теорема 2. Пусть х и у – натуральные числа, запись которых дана в десятичной системе счисления:

Тогда число х меньше числа у, если выполнено одно из условий:

а) n<m;

б) n = m, но a_n<b_n;

в) n = m, a_n= b_n, …, a_k = b_k, но a_k-1<b_k-1.

Пример: 1) если х = 345, а у = 4678, то х<y, так как первое число трехзначное, а второе – четырехзначное.

2) если х = 345, а у = 467, то x<y, так как в первом из двух значений трехзначных чисел меньше сотен.

3) Если х = 3456, а у = 3467, то x<y, так как, несмотря на то что в каждом из четырехзначных чисел число тысяч и сотен одинаковое, десятков в числе х меньше, чем в числе у.

Разряды

Если натуральное число х представлено в виде , то числа 1, 10, 10², …, 10ⁿ называют разрядными единицамисоответственно первого, второго, …, n+1 разряда, причем 10 единиц одного разряда составляют одну единицу следующего высшего разряда, т.е. отношение соседних разрядов равно 10 – основанию системы счисления.

Три первых разряда в записи числа соединяют одну группу и называют первым классом, или классом единиц. В первый класс входят единицы, десятки и сотни.

Четвертый, пятый и шестой разряды в записи числа образуют второй класс – класс тысяч. Затем следует третий класс – класс миллионов, состоящий тоже из трех разрядов: седьмого, восьмого и девятого, т.е. из единиц миллионов, десятков миллионов и сотен миллионов.

Последующие три разряда также образуют новый класс и т.д. выделение классов единиц, тысяч, миллионов и т.д. создает удобства для записи и прочтения чисел.

В десятичной СС всем числам можно дать название (имя). это достигается следующим образом: имеются названия первых 10 чисел, затем из них в соответствии с определением десятичной записи и путем прибавления еще немногих слов образуются названия последующих чисел. Так числа второго десятка, представляемые в виде , образуются из соединения первых десяти названий и несколько измененного слова десять ("дцать"):

одиннадцать - один на десять;

двенадцать - два на десять и т.д.

Может быть естественнее было бы говорить "два и десять", но наши предки предпочли говорить "два на десять", что и сохранилось в речи.

Слово "двадцать" обозначает два десятка. Продолжая счет, получим название чисел третьего, четвертого, пятого, шестого и т.д. десятков. Только в трех случаях появляются новые слова: сорок, девяносто и сто. Десять десятков называют сотней. Название чисел второй сотни составляются из слова "сто" и названий чисел первого и последующих десятков. Отсчитав новую сотню, будем иметь две сотни, которые для краткости называют "двести".Затем получим особые названия: триста, четыреста, пятьсот, и т.д. до тех пор, пока не отсчитаем 10 сотен, которые носят название тысяча. После отсчета тысячи тысяч получим число, имеющее наименование миллион (10⁶). Далее считаем миллионами до тех пор, пока не дойдем до тысячи миллионов, данное число носит название - миллиард (10⁹). Миллион миллионов называется биллионом(10¹²). Затем получим триллион (10¹⁵), потом квадриллион (10¹⁸) и т.д.

Таким образом, чтобы назвать все натуральные числа в пределах миллиарда, потребовалось только 16 различных слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок, девяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард. Остальные названия чисел (в пределах миллиарда) образуются из основных.