ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Как определить зависимость/независимость событий?

123

Иногда об этом прямо сказано в условии задачи, но чаще всего приходится проводить самостоятельный анализ. Какого-то однозначного ориентира тут нет, и факт зависимости либо независимости событий вытекает из естественных логических рассуждений.

Чтобы не валить всё в одну кучу, задачам на зависимые события я выделю следующий урок, а пока мы рассмотрим наиболее распространённую на практике связку теорем:

Задачи на теоремы сложения вероятностей несовместных
и умножения вероятностей независимых событий

Этот тандем, по моей субъективной оценке, работает примерно в 80% задач по рассматриваемой теме. Хит хитов и самая настоящая классика теории вероятностей:

Задача 5

Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,6. Найти вероятность того, что:

а) только один стрелок попадёт в мишень;
б) хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.

Решение: вероятность попадания/промаха одного стрелка, очевидно, не зависит от результативности другого стрелка.

Рассмотрим события: А₁ – 1-й стрелок попадёт в мишень;

А₂ – 2-й стрелок попадёт в мишень.

По условию: Р(А₁) = 0,8; Р(А₂) = 0,6.

Найдём вероятности противоположных событий – того, что соответствующие стрелки промахнутся:

= 1 - = 1 – 0,8 = 0,2;

= 1 - = 1 – 0,6 = 0,4;

а) Рассмотрим событие: В – только один стрелок попадёт в мишень. Данное событие состоит в двух несовместных исходах:

1-й стрелок попадёт и2-й промахнётся
или
1-й промахнётся и 2-й попадёт.

На языке алгебры событий этот факт запишется следующей формулой: В = +

Сначала используем теорему сложения вероятностей несовместных событий, затем – теорему умножения вероятностей независимых событий:

Р(В) =Р( + ) = + Р( ) + Р( ) = Р( ) × Р( ) +Р( ) × Р( ) =

= 0,8 × 0,4 + 0,2 × 0,6 = 0,32 + 0,12 = 0,44 – вероятность того, что будет только одно попадание.

б) Рассмотрим событие: С – хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.

Прежде всего, ВДУМАЕМСЯ – что значит условие «ХОТЯ БЫ ОДИН»? В данном случае это означает, что попадёт или 1-й стрелок (2-й промахнётся) или 2-й (1-й промахнётся) или оба стрелка сразу – итого 3 несовместных исхода.

Способ первый: учитывая готовую вероятность предыдущего пункта, событие удобно представить в виде суммы следующих несовместных событий:

попадёт кто-то один (событие В, состоящее в свою очередь из 2-х несовместных исходов) или
попадут оба стрелка – обозначим данное событие буквой D.

Таким образом: C = B + D.

По теореме умножения вероятностей независимых событий:

P (D) = P(А₁ А₂) = P(А₁) × P(А₂) = 0,8 × 0,6 = 0,48 – вероятность того, что 1-й стрелок попадёт и 2-ой стрелок попадёт.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

Р(C) = Р(B + D) = Р( B) + Р( D) = 0,44 + 0,48 = 0,92. – вероятность хотя бы одного попадания по мишени.

Способ второй: рассмотрим противоположное событие: – оба стрелка промахнутся.

По теореме умножения вероятностей независимых событий:

Р( ) = Р ( ) = Р ( ) × Р ( ) = 0,2 × 0,4 = 0,08.

В результате: Р(С) = 1 – Р( ) = 1 – 0,08 = 0,92.

Особое внимание обратите на второй способ – в общем случае он более рационален.

Кроме того, существует альтернативный, третий путь решения, основанный на теореме, которая будет рассмотрена на следующем уроке: теореме сложения совместных событий.

!Если вы знакомитесь с материалом впервые, то во избежание путаницы, следующий абзац лучше пропустить.

Способ третий: события А₁ и А₂ совместны, а значит, их сумма А₁ + А₂ выражает событие «хотя бы один стрелок попадёт в мишень» (см. алгебру событий). По теореме сложения вероятностей совместных событий и теореме умножения вероятностей независимых событий:

Р(А₁ + А₂) = Р(А₁) + Р( А₂) –Р(А₁× А₂) = Р(А₁) + Р( А₂) – Р(А₁) × Р(А₂) =

= 0,8 + 0,6 – 0,8 × 0,6 = 1,4 – 0,48 = 0,92

Выполним проверку: события , В и D (0, 1 и 2 попадания соответственно) образуют полную группу, поэтому сумма их вероятностей должна равняться единице:

Р( ) + Р(В) + Р(D) = 0,08 + 0,44 + 0,48 = 1, что и требовалось проверить.

Ответ: а) вероятность того, что только один стрелок попадёт в мишень, равна 0,44,

б) вероятность того, что хотя бы один из стрелков попадёт в мишень, равна 0,92

На практике можно пользоваться любым вариантом оформления. Конечно же, намного чаще идут коротким путём, но не нужно забывать и 1-й способ – он хоть и длиннее, но зато содержательнее – в нём понятнее, что, почему и зачем складывается и умножается.

Похожие задачи:

Задача 6 для самостоятельного решения

Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих датчика. Вероятности того, что при возгорании датчик сработает, для первого и второго датчиков соответственно равны 0,5 и 0,7. Найти вероятность того, что при пожаре:

а) оба датчика откажут;
б) оба датчика сработают.
в) Пользуясь теоремой сложения вероятностей событий, образующих полную группу, найти вероятность того, что при пожаре сработает только один датчик. Проверить результат прямым вычислением этой вероятности (с помощью теорем сложения и умножения).

Здесь независимость работы устройств непосредственно прописана в условии, что, кстати, является важным уточнением. Образец решения оформлен в академичном стиле.

Как быть, если в похожей задаче даны одинаковые вероятности, например, 0,9 и 0,9? Решать нужно точно так же!

Задача 7

Стрелок попадает в цель с одной и той же вероятностью при каждом выстреле. Какова эта вероятность, если вероятность хотя бы одного попадания при трех выстрелах равна 0,973.

Решение: обозначим через – вероятность попадания в мишень при каждом выстреле.
и через – вероятность промаха при каждом выстреле.

И таки распишем события:
– при 3-х выстрелах стрелок попадёт в мишень хотя бы один раз;
– стрелок 3 раза промахнётся.

По условию , тогда вероятность противоположного события:

С другой стороны, по теореме умножения вероятностей независимых событий:

Таким образом:

– вероятность промаха при каждом выстреле.

В результате:
– вероятность попадания при каждом выстреле.

Ответ: 0,7

Просто и изящно.

Решения и ответы:

Задача 2: В коробке 10 красных и 6 синих пуговиц. Наудачу извлекаются две пуговицы. Какова вероятность того, что они будут одноцветными?

Решение:всего: 10 + 6 = 16 пуговиц в коробке.
способами можно извлечь 2 пуговицы из коробки;
способами можно извлечь 2 красные пуговицы;
способами можно извлечь 2 синие пуговицы.
По классическому определению:
– вероятность того, что из коробки будут извлечены две красные пуговицы;
– вероятность того, что из коробки будут извлечены две синие пуговицы.
По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
– вероятность того, что из коробки будут извлечены две одноцветные пуговицы.
Ответ: 0,5

Задача 4: В трех урнах имеется по 6 белых и по 4 черных шара. Из каждой урны извлекают наудачу по одному шару. Найти вероятность того, что: а) все три шара будут белыми; б) все три шара будут одного цвета.

Решение: рассмотрим события: – из 1-й, 2-й и 3-й урны соответственно будет извлечён белый шар. По классическому определению вероятности:

Тогда вероятности извлечения чёрного шара из соответствующих урн равны:

а) Рассмотрим событие: – из каждой урны будет извлечено по 1-му белому шару.
Данное событие выражается в виде произведения (из 1-й урны будет извлечён БШ и из 2-ой урны будет извлечён БШ и из 3-й урны будет извлечён БШ).
По теореме умножения вероятностей независимых событий:

б) Рассмотрим событие – из каждой урны будет извлечено по 1-му чёрному шару.
По теореме умножения вероятностей независимых событий:

Рассмотрим событие – все три шара будут одного цвета. Данное событие состоит в двух несовместных исходах: (будут извлечены 3 белых или 3 чёрных шара)
По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

Ответ:

Задача 6: Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих датчика. Вероятности того, что при возгорании датчик сработает, для первого и второго датчиков соответственно равны 0,5 и 0,7. Найти вероятность того, что при пожаре:

Решение:рассмотрим следующие события:
– при возгорании сработает 1-й датчик;
– при возгорании сработает 2-й датчик.
По условию:
Вычислим вероятности противоположных событий:

а) Рассмотрим событие: – при пожаре оба датчика откажут.
По теореме умножения вероятностей независимых событий:

б) Рассмотрим событие: – при пожаре оба датчика сработают.
По теореме умножения вероятностей независимых событий:

в) Рассмотрим событие: – при пожаре сработает только один датчик.
События образуют полную группу, следовательно:

Проверим результат с помощью прямого вычисления. Событие состоит в 2-х несовместных исходах: 1-й датчик сработает и 2-й откажет или 1-ый откажет и 2-й сработает. Таким образом: .
По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий:

Ответ:

Следующий урок

123