ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Зависимые события и условная вероятность

1 23

На предыдущем уроке (смотри выше) мы ознакомились с основными теоремами сложения и умножения вероятностей, а также научились решать типовые задачи с независимыми событиями, и сейчас последует гораздо более интересное продолжение, которое позволит не только освоить новый материал, но и, возможно, окажет практическую житейскую помощь.

Кратко повторим, что такое независимость событий: события А и В являются НЕзависимыми, если вероятность любого из них не зависит от появления либо непоявления другого события. Простейший пример – подбрасывание двух монет. Вероятность выпадения орла либо решки на одной монете никак не зависит от результата броска другой монеты.

Понятие зависимости событий вам тоже знакомо и настал черёд заняться ими вплотную.

Сначала рассмотрим традиционный набор, состоящий из двух событий: событие В является зависимым, если помимо случайных факторов его вероятность зависит от появления либо непоявления события А. Вероятность события В, вычисленная в предположении того, что событие А уже произошло, называется условной вероятностью наступления события В и обозначается через Р_А(В). При этом события А и В называют зависимыми событиями (хотя, строго говоря, зависимо только одно из них).

Задача 1

Из колоды в 36 карт последовательно извлекаются 2 карты. Найти вероятность того, что вторая карта окажется червой, если до этого:

а) была извлечена черва;
б) была извлечена карта другой масти.

Решение: рассмотрим событие: В – вторая карта будет червой. Совершенно понятно, что вероятность этого события зависит от того, черву или не черву вытянули ранее.

а) Если сначала была извлечена черва (событие А), то в колоде осталось 35 карт, среди которых теперь находится 8 карт червовой масти. По классическому определению: Р_А(В) = – вероятность того, что вторая карта окажется червой при условии, что до этого тоже была извлечена черва.

б) Если же сначала была извлечена карта другой масти (событие ), то все 9 черв остались в колоде. По классическому определению: Р_А(В) = – вероятность того, что вторая карта окажется червой при условии, что до этого была извлечена карта другой масти.

Всё логично – если вероятность извлечения червы из полной колоды составляет Р(А) = = 0,25, то при извлечении следующей карты аналогичная вероятность изменится: в первом случае – уменьшится Р_А(В) = » 0,23 (т.к. черв стало меньше), а во втором – возрастёт: Р_А(В) = » 0,26 (т.к. все червы остались в колоде).

Ответ: а) вероятность того, что была извлечена черва, равна ;
б) вероятность того, что была извлечена карта другой масти, равна .

Зависимых событий, разумеется, может быть и больше. Пока задача не остыла, добавим ещё одно: С– третьей картой будет извлечена черва. Предположим, что произошло событие А, а затем событие В; тогда в колоде осталось 34 карты, среди которых 7 черв. По классическому определению: Р_АВ(С) = – вероятность наступления события С при условии, что до этого были извлечены две червы.

Задача 2 для самостоятельного решения

В конверте находится 10 лотерейных билетов, среди которых 3 выигрышных. Из конверта последовательно извлекаются билеты. Найти вероятности того, что:

а) 2-й извлечённый билет будет выигрышным, если 1-й был выигрышным;
б) 3-й будет выигрышным, если предыдущие два билета были выигрышными;
в) 4-й будет выигрышным, если предыдущие билеты были выигрышными.

Краткое решение с комментариями в конце урока.

А теперь обратим внимание на один принципиально важный момент: в рассмотренных примерах требовалось найти лишь условные вероятности, при этом предыдущие события считались достоверно состоявшимися. Но ведь в действительности и они являются случайными! Так, в рассмотренной задаче извлечение червы из полной колоды – есть событие случайное, вероятность которого равна Р(А) = = .

На практике гораздо чаще требуется отыскать вероятность совместного появления зависимых событий. Как, например, найти вероятность события А × В, состоящего в том, что из полной колоды будет извлечена черва и затем ещё одна черва? Ответ на этот вопрос даёт теорема умножения вероятностей зависимых событий: вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло: Р(АВ) = Р(А) × Р_А(В)
В нашем случае: Р(АВ) = Р(А) × Р_А(В) = × = » 0,0571 – вероятность того, что из полной колоды будут извлечены 2 червы подряд.

Аналогично: Р( В) = Р( ) × (В) = × = » 0,1929 – вероятность того, что сначала будет извлечена карта другой масти изатем черва.

Вероятность события В получилась заметно больше вероятности события АВ, что, в общем-то, было очевидно без всяких вычислений.

И, само собой, не нужно питать особых надежд, что из конверта с десятью лотерейными билетами (Задача 2) вы вытяните 3 выигрышных билета подряд:

Р(А₁А₂А3) = Р(А₁) × (А₂) × (А₃) = × × = » 0,0083.

Итак, теорема умножения вероятностей зависимых событий естественным образом распространяется и на большее их количество.

Задача 3 – типовая задача.

В урне 4 белых и 7 черных шаров. Из урны наудачу один за другим извлекают два шара, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что:

а) оба шара будут белыми;
б) оба шара будут чёрными;
в) сначала будет извлечён белый шар, а затем – чёрный.

Обратите внимание на уточнение «не возвращая их обратно». Этот комментарий дополнительно подчёркивает тот факт, что события зависимы. Действительно, а вдруг извлечённые шары возвращают обратно? В случае возвратной выборки вероятности извлечения чёрного и белого шара меняться не будут, а в такой задаче уже следует руководствоваться теоремой умножения вероятностей НЕзависимых событий.

Решение: всего в урне: 4 + 7 = 11 шаров.

а) Рассмотрим события А – первый шар будет белым, В – второй шар будет белым и найдём вероятность события АВ, состоящего в том, что 1-ый шар будет белым и 2-ой белым.

По классическому определению вероятности: Р(А) = . Предположим, что белый шар извлечён, тогда в урне останется 10 шаров, среди которых 3 белых, поэтому: Р_А(В) = – вероятность извлечения белого шара во 2-м испытании при условии, что до этого был извлечён белый шар.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий: Р(АВ) = Р(А) × Р_А(В) = × = – вероятность того, что оба шара будут белыми.

б) Найдём вероятность события , состоящего в том, что 1-ый шар будет чёрным и 2-ой чёрным

По классическому определению: = – вероятность того, что в 1-м испытании будет извлечён чёрный шар. Пусть извлечён чёрный шар, тогда в урне останется 10 шаров, среди которых 6 чёрных, следовательно: = = – вероятность того, что во 2-м испытании будет извлечён чёрный шар при условии, что до этого был извлечен чёрный шар.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий: Р( ) = × = × =
– вероятность того, что оба шара будут чёрными.

в) Найдём вероятность события (сначала будет извлечён белый шар и затем чёрный)

После извлечения белого шара (с вероятностью Р(А) = в урне останется 10 шаров, среди которых 3 белых и 7 чёрных, таким образом: Р_А( ) = – вероятность того, что во 2-м испытании будет извлечён чёрный шар при условии, что до этого был извлечен белый шар.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий: Р( )= Р(А) × Р_А( ) = × = – искомая вероятность.

Ответ: а) вероятность того, что оба шара будут белыми равна ;
б) вероятность того, что оба шара будут чёрными равна
в) вероятность того, что сначала будет извлечён белый шар, а затем – чёрный, равна .

Данную задачу нетрудно проверить через теорему сложения вероятностей событий, образующих полную группу. Для этого найдём вероятность 4-го недостающего события:

Р( ) = × = × = – того, что сначала будет извлечён чёрный шар и затем белый.

События АВ, , , образуют полную группу, поэтому сумма их вероятностей должна равняться единице: Р(АВ) + Р( )+Р( )+Р( ) = + + + = 1 ,что и требовалось проверить.

Задача 4 для самостоятельного решения

Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут извлечены два туза подряд?

Задача 5 для самостоятельного решения

В урне 6 черных, 5 красных и 4 белых шара. Последовательно извлекают три шара. Найти вероятность того, что

а) третий шар окажется белым, если до этого был извлечён черный и красный шар;
б) первый шар окажется черным, второй – красным и третий – белым.

Решения и ответы в конце урока.

Надо сказать, что многие из рассматриваемых задач разрешимы и другим способом, но чтобы не возникло путаницы, пожалуй, вообще о нём умолчу.

Решения и ответы:

Задача 2: В конверте находится 10 лотерейных билетов, среди которых 3 выигрышных. Из конверта последовательно извлекаются билеты. Найти вероятности того, что:

Решение: рассмотрим события: – при 1-й, 2-й, 3-ей и 4-й попытках соответственно будет извлечён выигрышный билет.

а) Пусть событие состоялось. Тогда в конверте осталось 9 билетов, среди которых 2 выигрышных. По классическому определению:
– вероятность того, что 2-й выбранный билет будет выигрышным при условии, что до этого извлечён выигрышный билет.

б) Если произошли события , то в конверте осталось 8 билетов, среди которых 1 выигрышный. По классическому определению:
– вероятность того, что 3-й выбранный билет будет выигрышным при условии, что до этого было извлечено два выигрышных билета.

в) Если произошли события , то в конверте не осталось выигрышных билетов. По классическому определению:
– вероятность того, что 4-й выбранный билет будет выигрышным при условии, что до этого были извлечены три выигрышных билета.

Ответ:

Задача 4: Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут извлечены два туза подряд?

Решение: всего: 4 туза в колоде. Рассмотрим события – первой картой будет извлечён туз, – 2-й картой будет извлечён туз. По классическому определению вероятности: . В случае осуществления события в колоде останется 35 карт, среди которых 3 туза, поэтому: – вероятность того, что 2-й картой будет извлечён туз, при условии, что до этого был извлечен туз.
По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
– вероятность того, что из колоды в 36 карт будут извлечены два туза подряд.
Ответ:

Задача 5: В урне 6 черных, 5 красных и 4 белых шара. Последовательно извлекают три шара. Найти вероятность того, что

Решение: всего: 6 + 5 + 4 = 15 шаров в урне. Рассмотрим следующие события:
– 1-й шар будет черным;
– 2-й шар будет красным;
– 3-й шар будет белым.

а) По условию, события и уже произошли, а значит, в урне осталось 13 шаров, среди которых 4 белых. По классическому определению: – вероятность того, что 3-й шар будет белым при условии, что до этого был извлечён черный и красный шар.

б) По классическому определению: . Предположим, что событие произошло, тогда в урне осталось 14 шаров, среди которых 5 красных. По классическому определению: – вероятность того, что 2-й шар будет красным при условии, что 1-й был чёрным.
По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
– вероятность того, что первый шар окажется черным и второй – красным и третий – белым

Ответ:

1 23