ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Оси и плоскости тела человека - Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков - Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) - В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Под действием постоянных сил.

Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Следующая

Варианты 1 – 5 (рис. 1, схема 1). Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом, в течение τ (с). Его начальная скорость . Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f.

В точке B тело покидает плоскость со скоростью и попадает со скоростью в точку C плоскости BD, наклоненной под углом β к

Рис.1

горизонту, находясь в воздухе T (c).

При решении задачи тело принять за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.

Вариант 1. Дано: α = 30º; = 0; f = 0,2; l = 10 м;

β = 60°. Определить τ и h.

Вариант 2. Дано: α = 15°; = 2 м/с; f = 0,2; h = 4м;

β = 45°. Определить l и уравнение траектории точки на

участке ВС.

Вариант 3. Дано: α = 30°; = 2,5 м/с; f ≠ 0; l = 8 м;

d = 10 м; β = 60°. Определить и τ.

Вариант 4. Дано: = 0; τ = 2 с; l = 9,8 м; β = 60°; f = 0.

Определить α и T.

Вариант 5. Дано: α = 30°; = 0; l = 9,8 м; τ = 3 с; β = 45°.

Определить f и .

Варианты 6-10 (рис. 1, схема 2). Лыжник подходит к точке А участка АВ трамплина, наклоненного под углом а к горизонту и имеющего длину l, со скоростью . Коэффициент трения скольжения лыж на участке АВ равен f. Лыжник от A до В движется τ (с); в точке В со скоростью он покидает трамплин. Через Т (с) лыжник приземляется со скоростью в точке С горы, составляющей угол β с горизонтом.

При решении задачи принять лыжника за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.

Вариант 6. Дано: α = 20°; f = 0,1; τ = 0,2 с; h = 40 м;

β = 30°. Определить l и .

Вариант 7. Дано: α = 15°; f = 0,1; =16 м/с; l = 5 м;

β = 45°. Определить и Т.

Вариант 8. Дано: = 21 м/с; f = 0; τ = 0,3 с; = 20 м/с;

β = 60°. Определить α и d.

Вариант 9. Дано: α = 15°; τ = 0,3 с; f = 0,1; h = 30 м;

β = 45°. Определить и .

Вариант 10. Дано: α = 15°; f = 0; = 12 м/с; d = 50 м;

β = 60°. Определить τ и уравнение траектории лыжника

на участке ВС.

Варианты 11-15 (рис. 1, схема 3). Имея в точке А скорость

мотоцикл поднимается τ (с) по участку АВ длиной l, составляющему с горизонтом угол α. При постоянной на всем участке АВ движущей силе Р мотоцикл в точке В приобретает скорость и перелетает через ров шириной d, находясь в воздухе Т (с) и приземляясь в точке С со скоростью . Масса мотоцикла с мотоциклистом равна m.

При решении задачи считать мотоцикл с мотоциклистом материальной точкой и не учитывать сил сопротивления движению.

Вариант 11. Дано: α = 30°; P ≠ 0; l = 40м; = 0;

= 4,5 м/с; d = 3 м. Определить τ и h.

Вариант 12. Дано: α = 30°; Р = 0; l = 40 м; = 4,5 м/с;

h = 1,5 м. Определить и d.

Вариант 13. Дано: α = 30°; m = 400 кг; = 0; τ = 20 с;

d = 3 м; h = 1,5 м. Определить Р и l.

Вариант 14. Дано: α = 30°; m = 400 кг; Р = 2,2 кН; = 0;

l = 40 м; d = 5 м. Определить и .

Вариант 15. Дано: α = 30°; =0; Р = 2 кН, l = 50 м;

h = 2 м; d = 4 м. Определить T и m.

Варианты 16-20 (рис. 1, схема 4). Камень скользит в течение τ (с) по участку АВ откоса, составляющему угол α с горизонтом и имеющему длину l. Его начальная скорость . Коэффициент трения скольжения камня по откосу равен f. Имея в точке В скорость , камень через Т (с) ударяется в точке С о вертикальную защитную стену. При решении задачи принять камень за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.

Вариант 16. Дано: α = 30°; = 1 м/с; l = 3 м; f = 0,2;

d = 2,5 м. Определить h и Т.

Вариант 17. Дано: α = 45°; l = 6 м; = 2 ; τ = 1 с; h =

=6 м.

Определить d и f.

Вариант 18. Дано: α = 30°; l = 2 м; = 0; f = 0,1; d = 3 м.

Определить h и τ.

Вариант 19. Дано: α =15°; l = 3 м; = 3 м/с, f ≠ 0; τ = 1,5 с;

d = 2 м. Определить и h.

Вариант 20. Дано: α = 45°, = 0; f = 0,3; d = 2 м; h = 4.

Определить l и τ.

Варианты 21-25 (рис. 1, схема 5). Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом. Его начальная скорость . Коэффициент трения скольжения равен f. Через τ (с) тело в точке В со скоростью покидает наклонную плоскость и падает на горизонтальную плоскость в точку С со скоростью ; при этом оно находится в воздухе Т (с).

При решении задачи принять тело за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.

Вариант 21. Дано: α =30°; f = 0,1; = 1 м/с; τ = 1,5 с;

h = 10 м. Определить и d.

Вариант 22. Дано: = 0; α = 45°; l = 10 м; τ = 2 с.

Определить f и уравнение траектории на участке ВС.

Вариант 23. Дано: f = 0; = 0; l = 9,81 м; τ = 2 с; h = 20 м;

Определить α и T.

Вариант 24. Дано: = 0; α = 30°; f = 0,2; l = 10 м;

h = 12 м. Определить τ и h.

Вариант 25. Дано: = 0; α = 30°; f = 0,2; l = 6 м;

h = 4,5 м. Определить τ и .

Варианты 26-30 (рис. 1, схема 6). Имея в точке А скорость , тело движется по горизонтальному участку АВ длиной l в течение τ (с). Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f. Со скоростью тело в точке В покидает плоскость и попадает в точку С со скоростью , находясь в воздухе Т (с). При решении задачи принять тело за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.

Вариант 26. Дано: = 7 м/с; f = 0,2; l = 8 м; h = 20 м.

Определить d и .

Вариант 27. Дано: = 4 м/с; f = 0,1; τ = 2с; d = 2 м.

Определить и h.

Вариант 28. Дано: = 3 м/с; f=0,3; l = 3 м; h = 5 м.

Определить и Т.

Вариант 29. Дано: = 3 м/с; =1 м/с; l = 2,5 м; h = 20м.

Определить f и d.

Вариант 30. Дано: f = 0,25; l = 4 м; d = 3 м; h = 5 м.

Определить и τ.

Пример выполнения задания (рис. 2).Имея в точке А скорость , мотоциклист поднимается (с) по прямолинейному участ-

Рис. 2

ку длиной l , составляющему с горизонтом угол . При постоянной на всем участке АВ движущей силе P мотоциклист в точке B приобретает скорость и перелетает через ров шириной d , находясь в воздухе T (c), а затем приземляется в точке C со скоростью . Масса мотоциклиста вместе с мотоциклом равна m.

Дано: α = 30º; = 0; m = 400 кг; l = 75 м; h = 2,5 м; d = 3 м. Определить P, , T, и , считая мотоциклиста с мотоциклом материальной точкой и не учитывая сил сопротивления движению.

Решение. Объект исследования – мотоциклист вместе с мотоциклом. При движении по участку АВ на объект действуют следующие силы: сила тяжести , движущая сила и нормальная реакция наклонной плоскости. Составим дифференциальное уравнение движения объекта на рассматриваемом участке:

; (1)

Интегрируя это дифференциальное уравнение, получим:

(2)

(3)

Для определения постоянных интегрирования С₁ и С₂ подставим начальные условия ( в уравнения (2) и (3). Откуда т. е.

Тогда из уравнений (2) и (3) найдем

(4)

(5)

Для момента времени из уравнений (4) и (5) получим :

(6)

(7)

Рассмотрим движение объекта на криволинейном участке ВС. В этом случае на объект действует только сила тяжести , а дифференциальные уравнения движения имеют вид:

(8)

(9)

Интегрирование уравнения (8) дает:

Подставляя сюда соответствующие начальные условия , определяем постоянные интегрирования и : , т. е. .

Тогда

; (10)

(11)

Интегрируя дифференциальное уравнение (9), имеем:

(12) (13) Используя начальные условия , из уравнений (12) и (13) получим: , т. е. ; .

Окончательно

(14)

(15)

Поскольку координаты объекта в момент приземления в точке С , для этого момента времени из уравнений (10), (11), (14) и (15) следует:

;

Из последних двух уравнений этой системы получим:

Откуда

м/с ;

с,

а из первых двух уравнений системы определим скорость объекта в момент падения с

м/с;

м/с.

Из уравнений (6), (7) следует, что =2· =

= 40,43 с, а =

= 1,999·10³ H = 2,0 кН

О т в е т: кH; с; с; м/с ; м/с.

Задание Д-2.Интегрирование дифференциальных

уравнений движения материальной точки, находящейся

под действием переменных сил

Найти уравнения движения тела М массой m (рис. 3−5), принимаемого за материальную точку и находящегося под действием переменной силы , при заданных начальных условиях. Во всех вариантах ось z (где показана) вертикальна, за исключением вариантов 8 и 30.

Необходимые для решения данные 30-ти вариантов задания приведены в табл. 1, в которой приняты следующие обозначения: − орты координатных осей (соответственно ); − ускорение свободного падения (9,81 м/с²); ƒ − коэффициент трения скольжения; t − время, с; − координаты точки и проекции ее скорости на оси координат соответственно, м и м/с.

Во всех случаях, где сила зависит от , рассмотреть движение объекта, при котором эти величины только положительны.

Пример выполнения задания ( рис.6).

Дано: =2 кг; , =0,6 Н·с/м; =0,2; =0; =4 м/с.

Найти уравнение движения объекта.

Решение. Объект исследования находится под действием силы тяжести , силы , нормальной реакции опорной плоскости и силы трения скольжения .

Составим дифференциальное уравнение движения объекта:

Поскольку , а , это дифференциальное уравнение приобретает вид:

или после подстановки исходных данных

. (1)

Проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение с помощью метода разделения переменных. Для этого уравнение (1) приведем к виду :

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Далее , разделив переменные, получим:

Интегрируя это дифференциальное уравнение в заданных пределах, последовательно будем иметь:

, │ =− ,

− =− , ,

и, наконец,

, м/с.

Разделим переменные в последнем дифференциальном уравнении и проинтегрируем в соответствующих пределах

│ −22,03 │ .

Откуда искомое уравнение движения объекта получает вид:

, м.

Интегрирование дифференциального уравнения (1) можно выполнить и с помощью теории линейных дифференциальных уравнений, представив его в виде:

. (2)

Уравнение (2) является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, поэтому его общее решение отыскивается в форме:

где − общее решение однородного дифференциального уравнения , а − частное решение неоднородного уравнения (2).

Для определения составим характеристическое уравнение дифференциального уравнения :

Поскольку корни этого характеристического уравнения

являются действительными неравными числами, общее решение представляется следующим образом:

, т. е. .

Частное решение следует искать в виде . Подставляя в дифференциальное уравнение (2), найдем, что м/с.

Тогда общее решение дифференциального уравнения (2) принимает вид:

. (3)

Дифференцируя уравнение (3) по времени, будем иметь:

. (4)

Подставляя в уравнения (3) и (4) начальные условия

( м/с), получим:

;

откуда определим постоянные интегрирования: м,

м.

Подставив найденные значения постоянных интегрирования в общее решение (3), найдем искомое уравнение движения объекта:

, м.

Задание Д-З. Исследование колебательного

движения материальной точки

Варианты 1-5 (рис. 7). Найти уравнение движения груза D массой (варианты 2 и 4) или системы грузов D и Е массами и (варианты 1, 3, 5), отнеся их движение к оси х; начало отсчета совместить с положением покоя груза D или соответственно системы грузов D и Е (при статической деформации пружин). Стержень, соединяющий грузы, считать невесомым и недеформируемым.

Вариант 1. Груз D ( = 2 кг) прикреплен к бруску АВ, подвешенному к двум одинаковым параллельным пружинам, коэффициент жесткости каждой из которых с = 3 Н/см. Точка прикрепления груза D находится на равных расстояниях от осей пружин.

В некоторый момент времени к грузу D подвешивают груз Е ( = 1 кг). Сопротивление движению системы двух грузов пропорционально скорости: (Н), где v - скорость (м/с).

Массой абсолютно жесткого бруска АВ и массой части демпфера, прикрепленной к бруску, пренебречь.

Вариант2. В момент, когда стержень, соединяющий грузы D ( = 1кг) и Е ( = 2 кг), перерезают, точка В (верхний конец последовательно соединенных пружин) начинает совершать движение по закону (см) (ось направлена вертикально вниз). Коэффициенты жесткости пружин с₁ = 12 Н/см, с₂ = 36 Н/см.

Вариант 3. Груз D ( = 0,8 кг) висит на пружине, прикрепленной к точке F бруска АВ и имеющей коэффициент жесткости с₁ = 10 Н/см. Брусок подвешен к двум параллельным пружинам, коэффициенты жесткости которых с₂ = 4 Н/см, с₃ = 6 Н/см; точка F находится на расстояниях а и b от осей этих пружин: а/b = с₃/с₂.

В некоторый момент времени к грузу D подвешивают груз Е ( =1,2 кг). В этот же момент системе грузов сообщают скорость

= 0,2 м/с, направленную вниз. Массой абсолютно жесткого бруска АВ пренебречь.

Вариант 4. Статическая деформация двух одинаковых параллельных пружин под действием грузов D ( = 0,5 кг) и Е ( =1,5 кг) f_ст = 4 см. Грузы подвешены к пружинам с помощью абсолютно жесткого бруска АВ. В некоторый момент времени стержень, соединяющий грузы, перерезают. Сопротивление движению груза D пропорционально скорости: (Н), где v – скорость (м/с). Массой бруска АВ и массой части демпфера, прикрепленной к бруску, пренебречь.

Вариант 5. Одновременно с подвешиванием к грузу D ( = 1,6 кг), висящему на пружине, коэффициент жесткости которой с = 4 Н/см, груза Е ( = 2,4 кг) точка В (верхний конец пружины) начинает совершать движение по закону (см) (ось ξ направлена вертикально вниз).

Примечание. Положение начала отсчета на оси хсоответствует среднему положению точки В(ξ= 0).

Варианты 6-10 (рис.7). Найти уравнение движения груза D массой т по гладкой наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α, с момента соприкосновения груза с пружиной или с системой пружин, предполагая, что при дальнейшем движении груз от пружин не отделяется. Движение груза отнести к оси х, приняв за начало отсчета положение покоя груза (при статической деформации пружин).

Вариант 6. Пройдя без начальной скорости по наклонной плоскости (α = 30°) расстояние s = 0,1 м, груз D ( = 4 кг) ударяется о недеформированные, последовательно соединенные пружины, имеющие коэффициенты жесткости с₁ = 48 Н/см и с₂ = 24 Н/см.

Вариант 7. В некоторый момент времени груз D (т = 2 кг) присоединяют без начальной скорости к концу А недеформированных последовательно соединенных пружин, имеющих коэффициенты жесткости с₁ = 12 Н/см, с₂ = 6 Н/см. В тот же момент времени (t = 0) другой конец пружин В начинает совершать движение вдоль наклонной плоскости (α = 45°) по закону (м) (ось ξ направлена вдоль наклонной плоскости вниз).

Примечание. Положение начала отсчета на оси хсоответствует среднему положению точки В(ξ= 0).

Вариант 8. Две параллельные пружины 1 и 2, имеющие коэф-

фициенты жесткости с₁ = 4 Н/см и с₂ = 6 Н/см, соединены абсолютно жестким бруском АВ, к точке К которого прикреплена пружина 3 с коэффициентом жесткости с₃ = 15 Н/см. Точка К находится на расстояниях а и b от осей пружин 1 и 2: а/b = с₂/с₁. Пружины 1, 2 и 3 не деформированы. Груз D массой 1,5 кг присоединяют к концу N пружины 3; в тот же момент грузу D сообщают скорость = 0,5 м/с, направленную вниз параллельно наклонной плоскости (α = 45°). Массой бруска АВ пренебречь.

Вариант 9. Груз D (т = 1,2 кг), пройдя без начальной скорости по наклонной плоскости (α = 30°) расстояние s = 0,2 м, ударяется о недеформированную пружину, коэффициент жесткости которой с = 4,8 Н/см. В этот же момент (t = 0) точка В (нижний конец пружин)

начинает совершать вдоль наклонной плоскости движение по закону (м) (ось ξ направлена вдоль наклонной плоскости вниз) (см. примечание к варианту 7).

Вариант 10. Груз D (т = 1 кг) прикрепляют в середине абсолютно жесткого бруска АВ, соединяющего концы двух одинаковых параллельных пружин, не сообщая начальной скорости; пружины не деформированы. Коэффициент жесткости пружин с = 1,5 Н/см. Сопротивление движению груза пропорционально скорости: (H),

где v – скорость (м/с), α = 60°. Массой бруска АВ и массой части демпфера, прикрепленной к бруску, пренебречь.

Варианты 11 - 15 (рис. 8). Груз D, массой т укреплен на конце невесомого стержня, который может вращаться в горизонтальной

плоскости вокруг оси Е. Груз соединен с пружиной или с системой пружин; положение покоя стержня, показанное на чертеже, соответствует недеформированным пружинам. Считая, что груз D, принимаемый за материальную точку, движется по прямой, определить уравнение движения этого груза (трением скольжения груза по плоскости пренебречь).

Движение отнести к оси х, за начало отсчета принять точку, соответствующую положению покоя груза.

Вариант 11. Груз D (т = 2,4 кг) соединен с точкой F бруска АВ, связывающего концы двух параллельных пружин, коэффициенты жесткости которых с₁= 1 Н/см и с₂ = 1,4 Н/см. Точка F находится на расстояниях а и b от осей пружин: a/b = c₂/с₁.

Груз D отклоняют на величину λ = 2 см влево от положения,

показанного на чертеже, и отпускают без начальной скорости. Сопро-

Рис.7

Рис. 8

тивление движению груза пропорционально скорости: (H), где

v – скорость (м/с). Массой абсолютно жесткого бруска АВ и массой демпфера пренебречь.

Вариант 12. В некоторый момент времени груз D (т = 3 кг), удерживаемый в положении, при котором пружина сжата на величину = 2 см, отпускают без начальной скорости. Коэффициент жесткости пружины с=9 Н/см. Одновременно ( t=0 ) точка B ( правый конец пружины) начинает совершать движение по закону (см) (ось ξ направлена влево).

Примечание. Положение начала отсчета на оси хсоответствует среднему положению точки В(ξ= 0).

Вариант 13. Груз D (т = 1 кг) прикреплен к концу пружины, имеющей коэффициент жесткости с₁= 12 Н/см и соединенной другим концом с точкой F бруска АВ. Брусок АВ связывает концы двух параллельных пружин, коэффициент жесткости каждой из которых с = 3 Н/см. Точка F находится на равных расстояниях от осей параллельных пружин. Грузу в положении стержня, показанном на чертеже, сообщают скорость = 0,5 м/с, направленную вправо.

Сопротивление движению груза пропорционально скорости (H), где v – скорость (м/с).

Шток демпфера пропущен через отверстие в невесомом бруске АВ и соединен с грузом D.

Вариант 14. Груз D (т = 1,5 кг) прикреплен одной стороной

к концу пружины, имеющей коэффициент жесткости с₁ = 4,4 Н/см, а

другой стороной − к концу двух последовательно соединенных пружин, коэффициенты жесткости которых с₂ = 2 Н/см, с₃ = 8 Н/см.

Груз отклоняют на величину λ = 2,5 см влево от его положения, показанного на чертеже, и отпускают, одновременно сообщая грузу начальную скорость = 0,4 м/с, направленную вправо.

Вариант 15. Груз D (т = 1 кг) прикреплен к концу А последовательно соединенных пружин. Другой конец пружин В движется по закону (см) (ось ξ направлена влево). Коэффициенты жесткости пружин с₁ = 4 Н/см, с₂ = 12 Н/см. При t = 0 груз находился в положении покоя, соответствующем недеформированным пружинам (см. примечание к варианту 12).

Варианты 16−20 (рис. 8). Найти уравнение движения груза D массой (варианты 17 и 19) или системы грузов D и Е массами и (варианты 16, 18, 20), отнеся движение к оси х; начало отсчета совместить с положением покоя груза D или соответственно системы

грузов D и Е (при статической деформации пружин). Предполагается, что грузы D и Е при совместном движении не отделяются.

Вариант 16. Пружина 1, на которой покоится груз D ( = 10 кг), опирается в точке F на брусок АВ, соединяющий концы двух параллельных пружин 2 и 3. Коэффициенты жесткости пружин: = 200 Н/см, = 160 Н/см, = 140 Н/см. Точка F находится на расстояниях а и b от осей пружин 2 и 3: а/b = / . В некоторый момент времени на груз D устанавливают груз Е ( = 20кг); одновременно системе грузов сообщают скорость = 0,4 м/с, направленную вниз.

Массой абсолютно жесткого бруска АВ пренебречь.

Вариант 17. В некоторый момент времени груз Е снимают с груза D (оба груза находятся в состоянии покоя, соответствующем статической деформации пружины). Круговая частота собственных колебаний системы грузов D и Е на пружине = 20 рад/с, отношение масс / = 2/3.

Вариант 18. Статическая деформация каждой из двух одинаковых параллельных пружин под действием груза D ( = 20 кг) равна = 2 см. В некоторый момент времени на груз D устанавливают груз Е ( = 10 кг). Сопротивление движению грузов пропорцио-

нально скорости: (H), где v – скорость (м/с). Массой абсолютно жесткого бруска АВ и массой части демпфера, связанной с ним, пренебречь.

Вариант 19. Два груза D и Е ( = 15 кг, = 25 кг) покоятся на последовательно соединенных пружинах, имеющих коэффициенты жесткости с₁ = 250 Н/см и с₂ = 375 Н/см. В момент, когда снимают груз E, опорная точка В пружин начинает совершать движение по закону (см) (ось ξ направлена вертикально вниз).

Примечание. Положение начала отсчета на оси хсоответствует среднему положению точки В (ξ= 0).

Вариант 20. На груз D, находящийся в состоянии покоя, соответствующем статической деформации пружины, в некоторый момент времени устанавливают груз Е. В этот же момент времени системе двух грузов сообщают скорость = 0,3 м/с, направленную вниз. Круговая частота собственных колебаний груза D на пружине k_D =24рад/с, отношение масс / = 3.

Варианты 21 − 25 (рис. 9). Найти уравнение движения груза D массой т по гладкой наклонной плоскости, составляющей с горизон-

том угол α, отнеся движение к оси х; за начало отсчета принять положение покоя груза (при статической деформации пружин).

Вариант 21. В некоторый момент времени груз D (т = 2 кг) прикрепляют к концам недеформированных пружин, имеющих коэффициенты жесткости с₁ = 7 Н/см и с₂ = 3 Н/см; одновременно грузу

сообщают скорость = 0,4 м/с, направленную вдоль наклонной плоскости (α = 45°) вниз.

Вариант 22. Груз D находится на наклонной плоскости (α = 30°) в состоянии покоя, соответствующем статической деформации пружины f_ст= 2 см. В некоторый момент времени (t = 0) точка В (верхний конец пружины) начинает совершать движение по закону (м) (ось ξ направлена вдоль наклонной плоскости вниз).

Примечание. Положение начала отсчета на оси хсоответствует среднему положению точки В (ξ= 0).

Вариант 23. Груз D (т = 3 кг) прикрепляют к точке F бруска АВ, соединяющего концы двух недеформированных параллельных пружин, и отпускают без начальной скорости. Коэффициенты жесткости пружин с₁ = 2 Н/см и с₂ = 4 Н/см. Точка F находится на расстояниях а и b от осей пружины: a/b = c₂/с₁; α = 60°.

Сопротивление движению груза пропорционально скорости: (Н), где v – скорость (м/с). Массой бруска АВ и массой демпфера пренебречь.

Вариант 24. В некоторый момент времени груз D (т = 1 кг) прикрепляют к концу А недеформированных последовательно соединенных пружин, имеющих коэффициенты жесткости с₁ = 12 Н/см и с₂ = 4 Н/см, и отпускают без начальной скорости.

Одновременно (t = 0) другой конец пружин В начинает совершать движение по закону (см). Ось ξ направлена вдоль наклонной плоскости вниз (α = 30°) (см. примечание к варианту 22).

Вариант 25. Концы двух одинаковых параллельных пружин соединены бруском АВ. Статическая деформация каждой из пружин под действием груза D (т =1,5 кг), находящегося на наклонной

плоскости (α = 30°), f_ст = 4,9 см. В некоторый момент грузу D сооб-

Рис. 9

щают скорость = 0,3 м/с, направленную вверх вдоль наклонной плоскости. Сопротивление движению груза пропорционально скорости груза: R = 6v (H), где v – скорость (м/с).

Массой абсолютно жесткого бруска АВ и массой части демпфера, связанной с бруском, пренебречь.

Варианты 26−30 (рис. 9).Пренебрегая массой плиты и считая ее абсолютно жесткой, найти уравнение движения груза D массой т с момента соприкосновения его с плитой, предполагая, что при дальнейшем движении груз от плиты не отделяется.

Движение груза отнести к оси х, приняв за начало отсчета положение покоя этого груза (при статической деформации пружин).

Вариант 26. Плита лежит на двух параллельных пружинах, имеющих коэффициенты жесткости с₁ = 600 Н/см и с₂ = 400 Н/см. Груз D (m = 50 кг) падает без начальной скорости с высоты h = 0,1 м в точку F плиты, находящуюся на расстояниях a и b от осей пружин: а/b = с₂/с_1.

Вариант 27. Коэффициент жесткости каждой из двух параллельных пружин, на которых лежит плита, с = 130 Н/см. Груз D (т = =40 кг) устанавливают на середину плиты и отпускают без начальной скорости при недеформированных пружинах. Сопротивление движению груза пропорционально скорости: R = 400 v (H), где v – скорость (м/с). Массой плиты и демпфера пренебречь.

Вариант 28. Груз D падает на плиту с высоты h = 5 см. Статический прогиб пружины под действием этого груза f_ст = 1 см.

Вариант 29. Плита лежит на двух одинаковых параллельных пружинах 1 и 2, коэффициенты жесткости которых с₁= с₂ = с = 400 Н/см. В некоторый момент времени груз D (т = 200 кг) устанавливают на середину плиты и одновременно прикрепляют к недеформированной пружине 3, имеющей коэффициент жесткости с₃ = 200 Н/см. В тот же момент времени (при недеформированных пружинах) грузу сообщают скорость (м/с), направленную вниз.

Вариант 30. В некоторый момент времени груз D (т = 100 кг) устанавливают на плиту и отпускают (при недеформированной пружине) без начальной скорости. В этот же момент времени точка В (нижний конец пружины) начинает совершать движение по вертикали согласно закону (см) (ось ξ направлена вниз). Коэффициент жесткости пружины с = 2000 Н/см.

Примечание. Положение начала отсчета на оси хсоответствует среднему положению точки В(ξ= 0).

Во всех вариантах задания после выполнения расчетных операций построить с помощью компьютера график исследуемого процесса движения груза (или грузов).

Пример выполнения задания (рис. 10). Груз D ( =2 кг) лежит на гладкой опорной плоскости, наклоненной под углом 30° к горизонту. Коэффициент жесткости пружины, удерживающей груз, 8 Н/см. В некоторый момент времени точка B (левый конец пружины) начинает совершать движение согласно закону (см) (ось направлена вниз вдоль наклонной плоскости) (рис. 10, а). Определить уравнение прямолинейного движения груза по оси , полагая, что сила сопротивления движению, осуществляемая гидравлическим демпфером, пропорциональна скорости груза: R = 8v (H), где v – скорость (м/с). Начало отсчета на оси совмещено с положением покоя груза и соответствует среднему положению точки В.

Решение. Поскольку груз D совершает прямолинейное поступательное движение, его можно рассматривать как материальную точку. Направим ось вниз вдоль наклонной плоскости в сторону удлинения пружины. В начальный момент времени груз находился в покое в положении статического равновесия, поэтому начальные условия движения груза являются нулевыми, т. е. при ; ; .

В текущий момент времени на груз действуют сила тяжести , нормальная реакция опорной плоскости, а также сила упругости пружины и сила сопротивления демпфера (рис. 10, б). Прямолинейное движение груза вдоль оси x описывается следующим дифференциальным уравнением:

; . (1)

Здесь

, где − деформация пружины в текущем положении груза; l и − длины пружины в текущем и недеформированном состояниях соответственно; − статическая деформация пружины (в состоянии покоя груза и , т.е. и , откуда ); (b =1,5 см; 18 рад/с) – перемещение точки B пружины; ( 8Н·с/м − коэффициент сопротивления демпфера).

При этом дифференциальное уравнение (1) примет вид

(2)

Рис. 10

или после преобразования

Введя обозначения

, , ,

приведем дифференциальное уравнение к следующему виду:

. (3)

Общее решение этого линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения данного неоднородного уравнения: .

Найдем числовые значения входящих в дифференциальное уравнение (3) величин: с^-1 – коэффициент затухания; рад/с 20с^-1 – круговая частота собственных незатухающих колебаний груза; м/с² –относительная амплитуда кинематического возбуждения колебаний.

Поскольку n<k , корни соответствующего характеристического уравнения являются комплексно-сопряженны- ми числами ,9i и общее решение записывается в виде