Задание Д-7. Применение теоремы об изменении Кинетической энергии к изучению движения Механической системы Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя; начальное положение системы показано на рис. 29 − 33. Учитывая трение скольжения тела 1 (варианты 1 − 3, 5, 6, 8 − 12, 17 − 23, 28 − 30) и сопротивление качению тела 3, катящегося без скольжения (варианты 2, 4, 6 − 9, 11, 13 − 15, 20, 21, 24, 27, 29), пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s. В задании приняты следующие обозначения: m1, m2, m3, m4 − массы тел 1, 2, 3, 4; R2, r2, R3, r3 − радиусы больших и малых окружностей колес; i2x, i3ξ – радиусы инерции тел 2 и 3 относительно горизонтальных осей, проходящих через их центры масс; α, β − углы наклона плоскостей к горизонту; f − коэффициент трения скольжения; δ − коэффициент трения качения. Необходимые для решения данные приведены в табл. 6. Блоки и катки, для которых радиусы инерции в таблице не указаны, считать сплошными однородными дисками. В вариантах 17, 26 и 28 шатун 3 рассматривать как тонкий однородный стержень. Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям. Пример выполнения задания (рис. 34). Дано: − масса груза 1, , , , r2 = R3 = 10 см, α = 60°, f = 0,1, s = 0,05π м. Массой кривошипа (водила) ОС пренебречь. На рис. 34, а показана механическая система в начальном положении. Найти – скорость груза 1 в положении, соответствующем его перемещению на заданное расстояние . Решение. Объект исследования – механическая система связанных тел: груз 1, канат, колесо 2 и сателлитный механизм, состоящий Рис. 29 Рис. 30 Рис. 31 Рис. 32 Рис. 33 ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21696992460.files/image1128.jpg) ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21696992460.files/image1130.jpg) Рис. 34 из кривошипа ОС, неподвижного колеса и колес 3, 4 с подвижными осями. Применим теорему об изменении кинетической энергии системы: , | (1) | где и Т — кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях; и − сумма работ всех внешних и внутренних сил, приложенных к системе, на соответствующих перемещениях их точек приложения. Для рассматриваемой системы, состоящей из абсолютно твердых тел, связанных нерастяжимым канатом, . | | В начальном положении система находится в покое, поэтому Т0 = 0. Следовательно, уравнение (1) принимает вид: . | (2) | Выразим кинетическую энергию рассматриваемой системы через искомую скорость груза 1, а сумму работ внешних сил, приложенных к системе, − через его заданное перемещение . Кинетическая энергия системы Тв конечном ее положении (рис. 34, б)равна сумме кинетических энергий тел 1, 2,3, 4: . (3) Кинетическая энергия поступательно движущегося груза 1 . (4) Кинетическая энергия колеса 2,вращающегося вокруг неподвижной оси Ох, , (5) где момент инерции колеса 2 относительно его центральной оси ; − угловая скорость колеса 2. Скорость точки D колеса 2 равна скорости груза 1, поскольку нить, соединяющая груз и колесо, является нерастяжимой и не скользит по ободу колеса. Тогда , и выражение для кинетической энергии колеса 2 примет вид: . (6) Кинетическая энергия колеса 3, совершающего плоское движение, , (7) где скорость центра масс колеса 3; момент инерции колеса относительно его центральной оси как сплошного однородного диска; угловая скорость колеса. Выразим величины и через скорость . Центр масс колеса 3 совпадает с точкой А кривошипа ОС, жестко связанного с колесом 2 и вращающегося с угловой скоростью , поэтому . (8) Так как колесо 3 катится без скольжения по неподвижному контуру, то мгновенный центр скоростей этого колеса находится в точке Р контакта с контуром,следовательно, . (9) После подстановки (8) и (9) в выражение (7) получим . Таким образом, . (10) Для определения кинетической энергии колеса 4 найдем скорость центра масс и угловую скорость этого колеса. Центр масс колеса 4 совпадает с точкой С кривошипа ОС, поэтому скорость этого центра равна . (11) При этом вектор направлен перпендикулярно кривошипу OC в соответствии с круговой стрелкой . Скорость точки К контакта колеса 4 с колесом 3 , то есть по модулю равна скорости и направлена так же , как и вектор . Таким образом, векторы скоростей двух точек и колеса 4, совершающего движение в плоскости, геометрически равны: , откуда следует, что угловая скорость колеса , т. е. оно совершает криволинейное поступательное движение. Тогда кинетическая энергия колеса 4 . (12) Кинетическая энергия всей механической системы определяется по формуле (3) с учетом выражений (4), (6), (10), (12) . Подставляя сюда заданные значения масс, получаем: . (13) Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе,на заданном ее перемещении. Покажем приложенные к системе внешние силы: силы тяжести груза и колес, нормальную реакцию наклонной плоскости, силу трения скольжения и составляющие , реакции опоры О (рис. 34, б). Работа силы тяжести ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21696992460.files/image984.gif) . (14) Работа нормальной реакции как силы, перпендикулярной перемещению точки ее приложения, равна нулю. Работа силы трения скольжения ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21696992460.files/image1240.gif) . Так как ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21696992460.files/image1244.gif) то . (15) Работа сил , точка О приложения которых является неподвижной, равна нулю. Для определения работ сил и найдем угол поворота кривошипа ОС, соответствующий перемещению груза 1. Для этого выражение для угловой скорости кривошипа , с учетом того, что и , приведем к виду , откуда получим . После интегрирования при нулевых начальных условиях ( ) найдем, что . При перемещении груза 1 по наклонной плоскости на расстояние кривошип ОС повернется на угол ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21696992460.files/image1254.gif) ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21696992460.files/image1274.gif) и переместится из начального горизонтального положения в вертикальное , а точки А и С приложения сил тяжести и совершат вертикальное перемещение соответственно на высоту ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21696992460.files/image1280.gif) и . Работы сил тяжести и при этом составят: , (16) . (17) Сумма работ внешних сил определится сложением работ, вычисленных по формулам (14) − (17): . Подставляя исходные данные , получим: ![](http://konspekta.net/megapredmetru/baza1/21696992460.files/image1290.gif) . (18) Согласно выражению (2) приравняем значения Т и , определяемые по формулам (13) и (18): , откуда м/с. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА |